基于多介质问题的流体固体耦合数值方法及其在(2)
1 物理模型
1.1 控制方程
考虑二维计算区域上的多介质流固耦合问题,基于Euler坐标系描述可压缩流体和弹塑性固体在受到爆炸、冲击等强载荷作用下的大变形动力学行为,其控制方程组如(1)式所示:
式中:W表示守恒量;F为通量;H为源项;ρ为密度;u为速度矢量;E为单位体积总能量;p为压力;S为固体的偏应力张量,对于流体S等于0,以下皆同。
1.2 状态方程和本构模型
除了描述物质(流体或固体)的质量、动量和能量守恒的控制方程外,物质动力学行为的完整描述还需要提供描述自身热力学状态的本构方程(状态方程)。为后续进行统一分析,将流体状态方程和固体静水压力方程写成(2)式的统一形式:
式中:ω为Grüneisen系数;e为单位质量比内能;h(ρ)为参考状态。本文涉及到的状态方程包括:
梯恩梯(TNT)爆轰产物采用JWL状态方程,如(3)式所示:
式中:ρ0为初始密度;e且满足e=E/ρ-(u2+v2)/2,u,v为速度矢量u的x轴、y轴方向的分量;A1、B1、R1、R2和ω为JWL状态方程的参数,如表1所示。
表1 JWL状态方程参数Tab.1 Parameters of JWL equation of state参数A1B1R1R2ω取值
空气采用理想气体状态方程,如(4)式所示:
式中:γ为空气的绝热指数,γ=1.4.
刚性气体状态方程(5)式可用于描述金属、水等物质在受到爆炸或冲击时的动态响应问题,
式中:p∞表示参考压力。其中:钢的静水压力状态方程参数为γ= 4.4,p∞= 6×108Pa;水的参数为γ=7.15,p∞=3.31×108Pa.
Murnagham状态方程是一种线性化的Grüneisen状态方程,可用于描述金属等材料在受到冲击时的动态响应问题,
式中:K表示体积模量,K=2.225×1011Pa;p0表示初始压力。其中,钢的静水压力状态方程参数为ρ0=7 800 kg/m3,p0=1.0×105Pa,γ=3.7.
与流体不同的是,固体材料除了能够承受压缩或膨胀带来的体积变化外,还能够承受一定程度的剪切变形(形状改变)。流体弹塑性模型将固体的力学响应过程分解为两个部分:体积变形和剪切变形,其中体积变形仍然由状态方程(2)式来确定,而剪切变形在受到强冲击或者爆炸载荷作用时可能经历3个过程:弹性变形阶段、塑性变形阶段以及流体动力学阶段,如(7)式所示。
式中:n和n+1分别表示时间步;k、l表示偏应力张量的下标,k≥1,l≤3;|seff|表示Von Mises等效应力;表示偏应变率;μe和μp分别表示弹性和塑性剪切模量;Ye和Yp分别表示弹性和塑性屈服应力。当μe=μp,Ye=Yp=∞时,流体弹塑性模型将退化为弹性模型;当μp=0,Yp=∞时,流体弹塑性模型将退化为理想弹塑性模型;当0<μp<μe,Yp=∞时,流体弹塑性模型将退化为线性硬化弹塑性模型;当μe=μp=0,Ye=Yp=0时,流体弹塑性模型将退化为流体模型。
2 流固耦合Riemann问题求解
2.1 流固耦合Riemann问题
由于多维Riemann问题的复杂性,相关的理论研究十分困难,常见的做法是将多维Riemann问题简化为界面法向上的局部一维Riemann问题[27],利用界面两侧介质的压力和法向速度的相容性条件来求解一维Riemann问题。
对于流体与弹塑性固体耦合的一维多介质Riemann问题,当不考虑黏性时,Riemann问题的解由初值条件以及相应介质的状态方程或本构方程决定。不失一般性,假设流体位于物质界面的左侧,弹塑性固体位于物质界面的右侧,此时一维流固耦合的多介质Riemann问题定义为
式中:U=[ρ,ρu,E]T,Ψ=[ρu,ρu2+p-s,(E+p-s)u]T分别表示一维Riemann问题的守恒量和通量,且满足初值条件和ξ分别表示时间和空间坐标;s表示偏应力在界面法向上的投影;下标l、r表示左右初始状态。
这种初始时刻的间断一般不满足Rankine-Hugoniot关系,当τ>0时会立即分解为若干满足自相似性质的接触间断、激波或中心稀疏波。Riemann问题的波系结构与状态方程以及偏应力的演化模型密切相关,当状态方程满足凸性约束时,一维流固耦合的多介质Riemann问题的解包含左非线性波、右非线性波和中间线性退化的接触间断波,如图1所示。图1中:流体中只存在一道非线性波,固体中根据载荷条件和本构模型的不同,有可能存在弹性非线性波、塑性非线性波或流体非线性波。C表示接触间断波;Wl表示流体中的非线性波;Wr表示弹性固体中的非线性波;分别表示固体中的弹性、塑性以及流体非线性波;Ul和Ur分别表示左、右初始状态;和分别表示接触间断两侧的状态;和分别表示弹性、塑性非线性波后的状态;φ表示水平集距离函数。具体将在后面进行阐述。
文章来源:《爆炸与冲击》 网址: http://www.bzycjzz.cn/qikandaodu/2021/0707/1272.html
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