基于多介质问题的流体固体耦合数值方法及其在(3)
图1 一维流固耦合Riemann问题的波系结构Fig.1 Typical wave structures of one-dimensional fluid-solid Riemann problem
求解Riemann问题的关键在于如何求解接触间断左、右两侧的状态和需要根据接触间断两侧的非线性波类型和左右初始状态Ul和Ur进行分析。根据接触间断上的相容性条件和问题的解可转换为如下所示的非线性代数方程的求根问题,f(σ)=fl(σ,Ul)+fr(σ,Ur)+ur-ul=0,其中f(σ)表示Riemann问题所满足的非线性代数方程,σ表示界面法向应力的相反数,且流体σ=p,固体σ=p-s.
2.2 流体中的波系结构
对于流体,当p>pl时,非线性波的类型为激波,且激波前、后的物理量状态满足Rankine-Hugoniot关系:
当p≤pl时,非线性波的类型为稀疏波,且稀疏波前、后的Riemann不变量满足:
式中:c表示声速,且
综上所述,fl(p,Ul)=-(u-ul)满足:
对于JWL、多项式等形式复杂的状态方程,fl(p,Ul)具有高度非线性,解析求解(9)式非常困难。本文采用数值方法来近似求解fl(p,Ul),并通过在数值求解过程中进行误差控制来保证近似解收敛到(9)式的精确解。
2.2.1 激波
当p>pl时,该非线性波的类型为激波。对(2)式进行变换,
代入内能e的Rankine-Hugoniot关系,
可以建立激波曲线上p和ρ之间满足的关系(Hugoniot函数):
式中:
利用牛顿迭代法对(10)式进行迭代求解:
得到p对应的密度将代入(9)式中的激波关系式,可完成激波分支的fl(p,Ul)的求解。其中,m表示迭代步数。
2.2.2 稀疏波
当p≤pl时,该非线性波的类型为稀疏波,p和ρ满足等熵关系dρ/dp=1/c2. 结合(9)式的稀疏波关系,可得
利用自适应步长的Runge-Kutta-Fehlberg方法[28-29]对(12)式进行联立求解,可完成稀疏波分支fl(p,Ul)的计算。
2.3 固体中的波系结构
由于固体在弹性和塑性阶段具有不同的状态方程和本构模型,当固体经历从弹性到塑性的相变过程时,稀疏波或激波的前、后状态跨过了固体的弹性、塑性屈服极限,稀疏波的等熵线或激波的Rankine-Hugoniot曲线的斜率将发生间断,产生明显不同于流体的波系结构。下面依次对各变形阶段的波系结构进行分析。
2.3.1 弹性变形阶段的波系结构
2.3.1.1 弹性激波
当表示固体法向初始正应力的相反数,表示弹性压缩屈服极限状态时的法向正应力,表示塑性压缩屈服极限状态时的法向正应力,具体的计算方法将在2.3.4节中详细给出)时,该非线性波的类型为弹性激波(见图1(a))。与流体的Rankine-Hugoniot关系类似,可得
且静水压力p和偏应力s分别满足
式中:中间变量
与(10)式类似,建立弹性固体在跨过激波时静水压力p和密度ρ之间的关系为
结合(14)式,建立弹性激波曲线上σ和ρ之间满足的关系(Hugoniot函数):
式中:中间变量
2.3.1.2 弹性稀疏波
当分别表示弹性、塑性拉伸屈服极限状态时的法向正应力)时,该非线性波的类型为弹性稀疏波。与流体类似,根据稀疏波前、后的Riemann不变量和等熵关系,可得
2.3.2 塑性变形阶段的波系结构
2.3.2.1 塑性激波
当时,非线性波的类型为塑性激波(类似于图1(a)所示),此时激波前、后的状态量仍满足(13)式,且σ和ρ之间满足的Hugoniot函数为
式中:中间变量
2.3.2.2 塑性稀疏波
当时,非线性波的类型为塑性稀疏波。与弹性阶段类似,基于稀疏波前、后的Riemann不变量和等熵关系,可得
2.3.3 流体变形阶段的波系结构
2.3.3.1 激波
当时,固体处于流体屈服阶段,此时激波前、后的状态量仍满足(13)式,且σ和ρ之间满足:
式中:中间变量
2.3.3.2 稀疏波
当时,非线性波的类型为流体稀疏波。由于流体变形阶段的偏应力s保持为常数,稀疏波前、后的Riemann不变量和等熵关系满足:
2.3.4 弹塑性变形阶段的波系结构
当固体经历从弹性到塑性的相变过程时,激波的Rankine-Hugoniot曲线或稀疏波等熵线的斜率将发生间断,并产生以弹性屈服极限时的状态作为临界点的分裂激波(如图1(b)所示)。
2.3.4.1 弹性屈服极限状态的确定
在求解弹塑性固体的Riemann问题前,首先需要确定固体材料处于压缩和拉伸屈服极限时的状态。根据Von-Mises屈服条件和(14)式,可得
文章来源:《爆炸与冲击》 网址: http://www.bzycjzz.cn/qikandaodu/2021/0707/1272.html
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