基于多介质问题的流体固体耦合数值方法及其在(4)
式中:S表示非线性波后的偏应力张量。
令可得弹性压缩和拉伸屈服极限时的密度为
弹性极限时的其他物理量可通过相应的计算得到:
2.3.4.2 弹塑性激波
当时,该非线性波的类型为弹塑性激波。以弹性压缩屈服极限时的状态作为临界点,可得弹塑性分裂激波满足的关系为
相应的Hugoniot函数Φr(σ,ρ)为
式中:
2.3.4.3 弹塑性稀疏波
当时,非线性波的类型为弹塑性稀疏波。以弹性拉伸屈服极限状态作为临界点,可得弹塑性稀疏波满足:
2.3.5 塑性- 流体阶段的波系结构
当固体经历从塑性到流体的相变过程时,激波Rankine-Hugoniot曲线或稀疏波等熵线的斜率将发生间断,并产生以塑性屈服极限状态作为临界点的分裂激波(类似于图1(b)所示)。
2.3.5.1 塑性屈服极限状态的确定
利用与弹性屈服极限类似的方法,可以计算塑性屈服极限时的各物理量为
2.3.5.2 塑性- 流体激波关系
当时,非线性波的类型为塑性- 流体激波。以塑性压缩屈服极限状态作为临界点,可得塑性- 流体分裂激波满足的关系为
相应的Hugoniot函数为
式中:
2.3.5.3 塑性- 流体稀疏波
当时,非线性波的类型为塑性- 流体稀疏波。以塑性拉伸屈服极限状态作为临界点,可得塑性- 流体分裂稀疏波满足:
2.3.6 弹性- 塑性- 流体变形阶段的波系结构
当固体经历从弹性、塑性到流体的相变过程时,激波Rankine-Hugoniot曲线或稀疏波曲线的斜率将发生间断,并产生分别以弹性、屈服极限时的状态作为临界点的3个分裂波。
2.3.6.1 弹性- 塑性- 流体激波
当时,该非线性波的类型为弹性- 塑性- 流体激波。分别以弹性、塑性压缩屈服极限状态作为临界点,可得弹性- 塑性- 流体分裂激波满足:
相应的Hugoniot函数为
2.3.6.2 弹性- 塑性- 流体稀疏波
当时,非线性波的类型为弹性- 塑性- 流体稀疏波。以弹性、塑性拉伸屈服极限状态作为临界点,可得弹性- 塑性- 流体分裂稀疏波的Riemann不变量满足:
2.3.7 弹塑性固体Riemann问题的统一形式
定义fr(p,Ur)=u-ur,将2.3.1节~2.3.6节中固体各变形阶段的激波关系和稀疏波关系写成统一的形式。其中,激波情形满足:
与流体类似,利用牛顿迭代法对(20)式进行迭代求解:
得到σ对应的密度将代入(19)式的激波关系式,可完成激波分支fr(σ,Ur)的求解。
对于稀疏波情形,满足:
联立求解稀疏波方程
和等熵方程
可完整得到沿稀疏波分支的接触间断状态。与流体类似,利用自适应步长的Runge-Kutta-Fehlberg方法对(21)式和(22)式进行联立求解,可完成稀疏波分支fr(σ,Ur)的求解。
2.4 流固耦合Riemann问题的求解步骤
综上所述,本文提出的流固耦合Riemann问题的整体求解步骤如下:
1)提供物质界面应力的初始估计σ0和整体误差ε0,其中
2)假设第m步迭代的值σm已知,确定左、右非线性波的类型:
①如果σm>max {σl,σr},则两侧非线性波均为激波;
②如果min {σl,σr}<σm≤max {σl,σr},则一侧非线性波为激波,另一侧为稀疏波;
③如果σm≤min {σl,σr},则两侧非线性波均为稀疏波。
3)根据非线性波的类型和当前迭代步的局部求值误差εm,控制激波分支的非线性代数方程(10)式、(11)式和(19)式、(20)式的迭代残差,以及稀疏波分支的常微分方程组(12)式和(21)式、(22)式的局部求值误差,计算得到当前步的fl(σm,Ul)和fr(σm,Ur)。
4)更新得到m+1迭代步时,物质界面上的应力:
5)当应力的变化达到指定的整体误差ε0时,迭代终止,将得到的收敛解σm近似作为物质界面的压力σ*,否则返回步骤2.
6)计算物质界面上的法向速度:
3 多介质流动数值方法
在前期工作[30]的基础上,进一步建立了流固耦合问题的多介质流动数值方法。其中,利用水平集(Level Set)方法来追踪物质界面,即定义距离函数φ(x,t)的零等值面来表示物质界面Γ(t)。利用特征线方法[31]求解φ(x,t)的演化方程
式中:为界面运动速度延拓得到的速度场。
文章来源:《爆炸与冲击》 网址: http://www.bzycjzz.cn/qikandaodu/2021/0707/1272.html
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